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2022考研大纲:杭州电子科技大学2022年同等学力加试理学院-实变函数考试大纲

网络 564 2021-09-16 15:08:44

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杭州电子科技大学 硕士研究生复试同等学力加试科目考试大纲

学院:理学院 加试科目:实变函数

一、集合

集合的描述与表示;子集、集合相等的概念;集合的并、交、差、补的定义及其运算性质;笛.摩根公式

映射的概念,单射、满射、双射的概念;集合的基数、对等的概念;基数的比较;伯恩斯坦(Bernstein)定理。

可列集的定义及等价条件可列集的运算性质;有理数集的可列性。

无限不可列集;[0,1]的无限不可列性;连续点集的基数及几个常见的例子;基数无最大者性。

n维欧氏空间中的邻域、内点、聚点,距离、收敛的概念及其等价条件;孤立点、边界点、内核、导集的概念及其简单的性质;Bolzano-Weierstrass定理。

开集、闭集、完备集的定义;开集、闭集的运算性质;直线上开集、闭集、完备集的构造;平面上开集的构造。

Borel有限覆盖定理;距离可达性定理;隔离性定理。

康托集的概念、构造及性质。

二、测度

1. 勒贝格外测度的概念外测度的性质;可列集与区间的外测度;勒贝格内测度的概念。

2. (勒贝格)可测集的定义;卡拉皆屋独立条件;可测集的运算性质;单调可测集列极限的测度。

3. 区间、开集、闭集的可测性;<Object: word/embeddings/oleObject1.bin>型集、<Object: word/embeddings/oleObject2.bin>型集的概念;可测集与开集、闭集、<Object: word/embeddings/oleObject3.bin>型集、<Object: word/embeddings/oleObject4.bin>型集的关系。

可测函数

1. 广义实数系<Object: word/embeddings/oleObject5.bin>上的运算点集上的连续函数点集上连续函数列的一致收敛的极限函数的连续性函数列不收敛点集的表示函数列的上下极限的概念;“几乎处处”的概念。

2. 勒贝格)可测函数的定义及其等价条件;连续函数、简单函数的可测性;可测函数的代数运算及极限运算的封闭性;可测函数与简单函数的关系。

3. 叶果洛夫定理;依测度收敛的概念;依测度收敛与几乎处处收敛互不包含举例;勒贝格定理;黎斯定理;依测度收敛的极限的唯一性。

鲁津定理(两种形式)。

四、勒贝格积分

1. 测度有界集合上有界函数的勒贝格大和、小和,上积分、下积分,有界勒贝格可积函数的概念;测度有界集合上函数的有界可积与有界可测的等价性。

2. 积分区域的有限可加性;积分的线性性质;积分的单调性与绝对可积性;区间上的有界函数黎曼可积蕴含勒贝格可积且其积分相等。

3. 非负函数积分存在与可积的定义;一般函数积分存在与可积的定义;勒贝格积分的性质。

4. 勒贝格控制收敛定理;勒贝格逐项积分定理;列维渐升函数列积分定理;法度引理;可积函数积分区域的可列可加性。

5. 区间上有界函数黎曼可积的等价条件;区间上广义黎曼可积与勒贝格可积的等价性。

6. 可测集的乘积测度;可测集的测度用截口的积分表示;非负函数的积分与下方图形的测度的关系;富比尼定理。

参考书目:

实变函数与泛函分析基础(第2版)程其襄,张奠宙,魏国强等编 高等教育出版社 前五章

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附件: 杭州电子科技大学2022年同等学力加试理学院-实变函数考试大纲.docx

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