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硕士研究生招生考试
加试
泛函分析 考试大纲
(科目代码： )
学院名称(盖章)： 数学与统计学院
学院负责人(签字)：
编 制 时 间： 2021年 7 月2 日
泛函分析 考试大纲
第一章 度量空间与线性赋范空间
考试要点：
度量空间的概念，例子；度量空间中的收敛性与连续性；稠密性；可分性；Cauchy列与度量空间的完备性；压缩映像原理及其应用；线性赋范空间的概念，例子；Banach空间的概念。
考试内容：
第一节 度量空间的概念与例子
距离及度量空间的定义；例子（欧氏空间<Object: word/embeddings/oleObject1.bin>；连续函数空间<Object: word/embeddings/oleObject2.bin>；数列空间<Object: word/embeddings/oleObject3.bin>等）。
第二节 度量空间中的极限<Object: word/embeddings/oleObject4.bin>稠密性<Object: word/embeddings/oleObject5.bin>可分空间
领域的概念；收敛点列；有界集；具体空间中收敛性的意义；稠密性与可分空间的概念；不可分空间的例子。
连续映射
映射连续性的各种定义及其等价性。
Cauchy点列与完备度量空间
度量空间中Cauchy点列的概念；完备度量空间的定义；完备度量空间与不完备度量空间的各类例子；度量空间闭子空间的完备性。
度量空间的完备化
等距同构；度量空间的完备化定理；
压缩映像原理及其应用
压缩映像的定义；压缩映像原理；在隐函数定理及常微分方程中的应用。
线性空间
本节内容为线性空间的基本概念。因学生已在高等代数课程中学过有限维空间的有关内容，故只需简要回顾并强调无限维线性空间的特征即可。
线性赋范空间和Banach空间
范数，线性赋范空间和Banach空间的概念；依范数收敛；<Object: word/embeddings/oleObject6.bin>空间；<Object: word/embeddings/oleObject7.bin>空间；<Object: word/embeddings/oleObject8.bin>空间；<Object: word/embeddings/oleObject9.bin>空间；<Object: word/embeddings/oleObject10.bin>空间；<Object: word/embeddings/oleObject11.bin>空间；有限维赋范空间的拓扑同构性。
考核要求：
掌握度量空间，线性赋范空间和Banach空间的概念和性质；掌握映射连续性，度量空间的完备性等概念；熟悉<Object: word/embeddings/oleObject12.bin>空间，<Object: word/embeddings/oleObject13.bin>空间，<Object: word/embeddings/oleObject14.bin>空间，<Object: word/embeddings/oleObject15.bin>空间，<Object: word/embeddings/oleObject16.bin>空间，<Object: word/embeddings/oleObject17.bin>空间；透彻理解压缩映像原理及其简单应用。能独立解答基本的习题。
第二章 线性有界算子和线性连续泛函
考试要点：
线性有界算子，线性连续泛函，线性算子空间，共轭空间。
考试内容：
第一节 线性有界算子与线性连续泛函
线性有界算子与线性连续泛函的概念，例子，有界与连续的等价性，线性有界算子零空间的性质，算子范数。
第二节 线性算子空间和共轭空间
线性算子空间的结构及其完备性，共轭空间，保距算子，同构映照，同构，一些具体空间的共轭空间。
考核要求：
掌握线性有界算子，线性连续泛函，有界性，连续性，算子范数，共轭空间，保距算子，同构映照，同构等基本概念；掌握有界与连续的等价性定理，基本定理；能够计算简单的算子范数和一些具体空间的共轭空间。能独立解答基本的习题。
第三章 内积空间和Hilbert空间
考试要点：
内积空间，投影定理，Hilbert空间，就范直交系，Hilbert空间上线性连续泛函的表示。
考试内容：
第一节 内积空间的基本概念
内积空间与Hilbert空间的定义，平行四边形公式，内积空间的判定。
第二节 投影定理
点到集合的距离，凸集，极小化向量定理，集合的正交，Hilbert空间的正交分解，投影算子及其性质。
Hilbert空间中的就范直交系
就范直交系，Fourier系数集，Bessel不等式，Parseval恒等式，完全就范直交系的定义与判定, Fourier展式，Gram-Schmidt正交化过程，Hilbert空间的同构。
Hilbert空间上的线性连续泛函
Riesz表示定理，共轭算子及其性质。
自伴算子、 酉算子和正常算子
自伴算子、 酉算子和正常算子的基本概念与简单性质。
考核要求：
掌握内积空间，Hilbert空间，平行四边形公式，就范直交系，Bessel不等式，Parseval恒等式，Fourier展式，投影算子，共轭算子，自伴算子，酉算子和正常算子等基本概念；掌握极小化向量定理，投影定理，完全就范直交系的判定定理, Riesz表示定理等基本定理的内容与证明；能独立解答基本的习题。
第四章 Banach空间中的基本定理
考试要点：
Hahn-Banach延拓定理，Riesz表示定理，线性赋范空间中的共轭算子，
泛函延拓定理
次线性泛函，Hahn-Banach泛函延拓定理的实形式、复形式及其推论。
<Object: word/embeddings/oleObject18.bin>的共轭空间、Riesz表示定理
共轭算子
线性赋范空间中共轭算子的定义及性质。
纲定理和一致有界性定理
第一纲集，第二纲集，Baire纲定理, 一致有界性定理强收敛、弱收敛和一致收敛
强收敛、弱收敛、弱*收敛和一致收敛的定义，例子，相互关系，强收敛的充要条件。
逆算子定理
逆算子定理及其证明。
闭图象定理
线性算子的图象，闭算子，闭图象定理。
考核要求：
掌握本章涉及到的所有基本概念，基本定理；由于Hahn-Banach延拓定理，Riesz表示定理，Baire纲定理，逆算子定理，闭图象定理是泛函分析基础理论的主要构成部分，要求熟练掌握这些内容；能独立解答基本的习题。
第五章 线性算子的谱
考试要点：
简要介绍线性算子的谱的概念，基本性质。
谱的概念
正则算子，正则点，正则集，谱点，特征值，特征向量，点谱，连续谱，例子。
线性有界算子谱的基本性质
谱集的闭性。
考核要求：
了解线性算子的谱的概念，基本性质。
三、参考书目
1、 程其襄等，《实变函数与泛函分析基础》，高等教育出版社， 1983， 第一版。
2、 王声望， 郑维行，《实变函数与泛函分析概要》，第二册，高等教育出版社，1992，第二版。
3、 夏道行等，《实变函数论与泛函分析》，下册，高等教育出版社， 1985，第二版。
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