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2025考研大纲:重庆师范大学2025年考研自命题科目 829高等代数 考试大纲

网络 236 2024-11-01 09:36:01

考研大纲包含了硕士研究生考试相应科目的考试形式、要求、范围、试卷结构等指导性考研用书。今天,为了方便2025考研的学子们,小编为大家整理了“2025考研大纲:重庆师范大学2025年考研自命题科目 829高等代数 考试大纲”的相关内容,祝考研成功!

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重庆师范大学 2025 年 硕士研究生招生考试初试自命题考试大纲   
考试科目代码及名称   829  高等代数   
考试方式   闭卷   
题型结构   计算题、证明题   
考试总时长及总分   180  分钟;  150  分 。   
考试范围、要求、主要内容:   
要求考生比较系统地理解高等代数的基本概念和基本理论 , 掌 握 高 等 代 数 
的基本思想  和 方 法 。要 求 考 生 具 有 抽 象 思 维 能 力 、逻 辑 推 理 能 力 、运 算 能 力 和 综 
合 运 用 所 学 的 知 识 分 析  问题和解决问题的能力。   
考试内容:   
(一)  多项式   
1.  一 元 多 项 式 的 整 除 、 最 大 公 因 式 、 带 余 除 法 公 式 、 互 素 、 不 可 约 多 项   
式 、 因 式 分解、  重因式、根及重根、多项式函数的概念及判 别;   
2.  复根存在定理(代数基本定理 ), 根与系数关系 ;  
3.  辗转相除法求两个多项式的最大公因式;多项式有重因式的判别方法,   
实数域、复数域上多项式因式分解定理,有理系数多项式的全部有理根。   
4.  一 些 重 要定 理的 证明 ,如 多 项式 的整 除性 质, Eisenstein  判 别 法, 不   
可约 多项式  的性质,整系数多项式的因式分解定理等;   
5.  运 用 多 项 式 理 论 证 明 有 关 命 题 , 如 与 多 项 式 的 互 素 和 不 可 约 多 项 式 的   
性 质 有 关 的 问 题的 证明 与应 用 ;   
6.  用多项式函数方法证明有关结论。   
(二)  行列式   
1.  n -级排列、对换、  n -级排列的逆序及逆序 数和奇偶性;   
2.  n -阶行列式的定义,基本性质及常用计算方法(如三角形法、 加边法、   
降阶法、  递 推 法 、 按 一 行 或 一 列 展 开 法 、 Vandermonde  行 列式法 );  
3.  行列式的代数余子式 , Vandermonde  行列式;   
4.  Cramer 法则解决问题。   
(三)  线性方程组   
1.   向 量 组 线 性 相( 无 )关 的 判 别 及 相 应 齐 次 线 性 方 程组 有( 无)非零 解   
的 相 关向 量判别法、行列式判别法;   
2.  向 量 组 的 极 大 线 性 无 关 组 的 性 质 ,  向 量 组 之 间 秩 的 大 小 关 系 定 理   
及 其 三 个 推 论 ,向 量 组 的 秩 的 概 念 及 计 算 ,矩 阵 的 行 秩 、列 秩 、秩 概 念 及 其 
行列式判别 法和计算;   
3.  线 性 方程 组有 (无 )解的 判 别定 理, 齐次 线性 方程 组 有( 无) 非 零解

的矩阵秩判别法、基础解系的计算和性质、通解的求法;   
4.  非 齐 次线 性方 程组 的解 法和 解 的结 构定 理。   
(四)  矩阵理论   
1.  矩 阵 基 本 运 算 、 分 块 矩 阵 运 算 及 常 用 分 块 方 法 并 用 于证 明与 矩阵 相关   
的结论 ,如 有 关 矩 阵 秩 的 不 等 式 ;   
2.  初 等 矩 阵 、 初 等 变 换 及 其 与 初 等 矩 阵 的 关 系 和 应 用 ;   
3.  矩 阵 的 逆 和 矩 阵 的 等 价 标 准 形 的 概 念 及 计 算 , 矩 阵 可 逆 的 条 件 及 其 与   
矩 阵 的 秩 和初等矩阵的关系,伴随矩阵概念及性质;   
4.  行列式乘积定理;   
5.  矩阵的转置 及相关性质;   
6.  一 些 特 殊 矩 阵 的 常 用 性 质 , 如 , 对 角 阵 、 三 角 阵 、 三 对 角 阵 、 对 称 矩   
阵 、 反 对 称矩阵、幂等矩阵、幂零矩阵、正交矩阵等;   
7.  矩阵的迹、方阵的多项式;   
8.  矩 阵 的 常 用 分 解 , 如 等 价 分 解 、 满 秩 分 解 、 实 可 逆 矩 阵 的 正 交 三 角 分   
解 、 约 当 分解;   
9.  应用矩阵理论解决一些问题。   
(五)  二次型理论   
1.   二 次 型 及 其 标 准 形 、 规 范 形 的 概 念 和 计 算 , 惯 性 定 理 及 其 应 用 ;   
 2.   实二次型或实对称矩阵正定、半正定、负定、半负定的概念及判定条件 
和应 用;   
3.  实 二 次 型 在 合 同 变 换 下 的 规 范 形 以 及 在 正 交 变 换 下 的 特 征 值 标 准 型 的   
求 法 。   
(六)  线性空间;   
1.  线性空间、子空间的定义及性质;   
2.  线性 空间 中一 个向 量组 的 秩及 计算 方法 ;   
3.  线 性 ( 子 ) 空 间 的 基 和 维 数 与 向 量 关 于 基 的 坐 标 , 子 空 间 的 基 扩 充 定   
理 , 基 变 换与坐标变换,生成子空间,子空间的直和,一些常 见的子空间,   
如线性方程 组 的 解 空 间 , 矩 阵 空 间 , 多 项 式 空 间 , 特 征 子 空 间 ;   
4. 子空间的直和、维数公式;   
5.   线性空间的同构;   
6.  向 量 组 线 性 相 关 或 无 关 及 子 空 间 直 和 等 相 关 结 论 的综 合证 明。   
(七)  线性变换   
1.  线性变换定义与运算及其矩阵表示;   
2.   矩 阵的 特征 多项 式和最 小 多 项 式及 其有 关性 质;   
3.   线 性 变 换 及 其 对 应 矩 阵 的 特 征 值 和 特 征 向 量 的 概 念 和 计 算 ;   
4.   线 性 变 换 及 其 矩 阵 的 线 性 无 关 特 征 向 量 的 判 别 和 最 大 个 数 及 特 征 子 空

间; 
5.   实 对称 矩阵 的特 征值和 特 征向 量的 性质 ,矩 阵的 对 角化 的判 定和 计算 ;   
6.   矩 阵 相 似 的 概 念 及 同 一 个 线 性 变 换 关 于 不 同 基 的 矩 阵 之 间 的 关 系 ;   
7.   线 性 变 换 的 不 变 子 空 间 、 核 、 值 域 的 概 念 及 关 系 和 计 算 ;   
8.  线性 变换 和矩 阵可 对角 化 的概 念和 条件 ;   
9.   Hamilton -Caylay  定理。   
(八)  λ -矩阵   
1.  λ -矩阵 的初 等变换 、标 准型 、行 列式 因子 、不变 因子 、初 等因 子及 三 
种   
因子之 间的关系;   
2.  矩 阵 的  Jordan  标 准 形 的 存 在 唯 一 性 定 理 的 证 明 及 其 应 用 。   
(九)  欧氏空间   
1.   内 积 和 欧 氏 空 间 的 定 义 及 简 单 性 质 , 如 柯 西 — 布 涅 可 夫 斯 基 不 等 式 、   
三 角 不 等 式 、 勾 股 定 理 等 ;   
2. 欧氏空间的度量矩阵的概念及性质;   
3.   欧 氏 空 间 的 标 准 正 交 基 概 念 及 其 求 法 和 性 质 的 证 明 与 应 用 ;   
4.  子 空 间 的 正 交 以 及 正 交 补 的 概 念   
5.  正 交 变 换 和 正 交 矩 阵 的 等 价 条 件 ;   
6.  对 称 变 换 的 概 念 及 其简单性质;   
7.  实 对 称 矩 阵 的 正 交 相 似 对 角 化 定 理 及 其 相 应 正 交 矩 阵 和 对 角 矩 阵 的 求 
法; 
8.  会用求特征值方法化实二次型为标准形;   
9.  线性无关向量组的施密特( Schmidt )正交化方法。   

参考书目   《高等代数  (第五版)》,  北京大学数学系前 
代数小组  编  ,高等教育出版社, 2019   
其他说明   无

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