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学院名称：012 数学科学学院
专业代码及名称：070100 数学
科目代码及名称：715 高等代数
考试大纲：
考试科目：高等代数
考试形式和试卷内容结构
一、试卷满分及考试时间
试卷满分为 150 分，考试时间为 180 分钟.
二、答题方式
答题方式为闭卷、笔试.
三、试卷题型
计算题(50%)证明题(50%).
四、考试内容及要求
(一)考试内容
1. 多项式理论
多项式的整除关系;多项式的最大公因式性质、求法及证明;多项式的互素关系;多项式的可约性判别;多项式有无重因式的判别;多项式的根理论;与矩阵有关的多项式问题.
2. 行列式
n 阶行列式的定义、性质、计算及应用.
3. 矩阵
矩阵的运算(包括矩阵的线性运算、乘积运算、幂运算、转置运算、逆运算、方阵的行列式运算等);分块矩阵及其运算;伴随矩阵、矩阵可逆性的判别及逆矩阵的求法;矩阵的秩(定义、求法、矩阵的秩的等式或不等式的证明);矩阵的初等变换及其应用;矩阵的特征多项式、特征值、相似矩阵、矩阵的对角化;矩阵的分解(包括矩阵的和式分解、乘积分解);特殊矩阵(包括单位矩阵、数量矩阵、对角矩阵、三角矩阵、初等矩阵、对称矩阵、反对称矩阵、正交矩阵、正定矩阵、对合矩阵、幂等矩阵、幂零矩阵)的性质等.
4. 线性方程组
线性方程组有解的判别;会用 Cramer 法则和初等变换法求解线性方程组;齐次线性方程组的基础解系、解空间和通解的求法;非齐次线性方程组的解与其导出组的解之间关系.
5. 线性空间与线性变换 线性空间的定义与性质;向量组的线性相关性及其判别;向量组的极大线性无关组的求法;线性空间的基与维数的求法;基变换与坐 标变换及过渡矩阵的求法;子空间的性质、生成及判别;交空间与和 空间的基与维数的求法;子空间直和的证明;线性空间同构的定义、 性质及判别;两个线性空间之间的同构映射的建立等.
6. 线性变换 线性变换的定义、运算与性质;线性变换与矩阵的关系;线性变换的像空间与核空间的性质及其求法;不变子空间的证明;线性变换 的特征值与特征向量的性质及求法;相似矩阵的性质及判别;线性变 换可以对角化(矩阵可以对角化)的判别;求线性空间的一组基，使 得线性变换关于这组基的矩阵为对角形矩阵等.
7. 欧氏空间与线性变换 欧氏空间中向量的内积、长度、夹角、距离的性质与计算;正交组与标准正交组的性质;施密特正交化过程;欧氏空间同构的判别; 正交变换(正交矩阵)的性质及判别;对称变换(对称矩阵)的性质 及判别;子空间的正交补的性质及证明.
8. 二次型 二次型及其矩阵表示;二次型等价(矩阵合同)的性质及判别;二次型的标准形、规范形的求法(包括配方法、合同变换法、正交变 换法);正定二次型(正定矩阵)、负定二次型(负定矩阵)、半正定 二次型(半正定矩阵)、半负定二次型(半负定矩阵)的性质及其判 别等.
(二)考试要求 在熟练掌握高等代数的基本理论、基本方法的基础上，理解各知识点之间的内在联系，掌握一定的解题技巧，会运用这些基本知识、 基本方法去分析和解决综合性的问题。
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