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昆明理工大学硕士研究生入学考试《微积分》考试大纲
第一部分 考试形式和试卷结构
一、试卷满分及考试时间
试卷满分为 150 分，考试时间为 180 分钟。
二、答题方式
答题方式为闭卷、笔试。
三、试卷内容结构
极限论 约占 20 ％
单变量微积分学 约占 30 ％
多变量微积分学 约占 30 ％
级数论 约占 20 ％
四、试卷题型结构
计算题
证明题
综合题
合计 150 分。
第二部分 考察的知识及范围
一、极限论
（ 1）掌握数列极限，函数极限定义，会用数列极限、函数极限
的定义证明有关极限问题 ； 掌握函数有界 、 无界的定义 ， 并会用其证
明给定函数在给定区间上的有界性 、 无界性 ； 掌握实数集上 、 下确界
的定义 并会用确界原理处理相关问题 。
（ 2） 掌握收敛数列的性质及运算 ， 掌握单调有界数列收敛定理 、
迫敛性法则 、 柯西收敛原理 、 归结原则及应用 ； 掌握函数极限的性质
及运算，会用两个重要极限来处理极限问题。
（ 3）掌握无穷小量和无穷大量的定义、性质和关系； 掌握无穷
小量阶的比较及其在极限计算中的应用。
（ 4）理解和掌握连续函数的定义和运算，解决有关函数连续性
问题；掌握不连续点的类型；掌握单侧极限的概念。
（ 5）掌握和应用闭区间上连续函数的性质（最大最小值性、有
界性、介值性、一致连续性 ）；掌握初等函数的连续性，理解复合函
数的连续性，反函数的连续性。
（ 6）掌握实数连续性定理：闭区间套定理、单调有界定理、柯
西收敛准则、确界存在定理、聚点定理、有限覆盖定理。
（ 7） 理解平面点集的基本概念 ， 了解矩形套定理 ， 致密性定理 、
有限覆盖定理 ； 掌握二元函数的极限 ， 二次极限 ， 连续性概念及计算 ；
掌握有界闭区域上多元连续函数的性质。
二、单变量微积分学
（ 1）理解和掌握导数与微分概念和几何意义；能熟练地运用导
数的运算性质和求导法则求函数的导数（特别是复合函数 ）。
（ 2）理解可导性、连续性与可微性的关系；掌握导数的几何应
用，微分在近似计算中的应用；掌握高阶导数的求法。
（ 3）掌握中值定理的内容、证明及其应用；能熟练地运用罗必
达法则求不定式的极限 ； 掌握泰勒公式并能应用其解决近似计算 、 求
极限等相关问题。
（ 4）掌握函数图形特征（单调性、极值与最值、凹凸性、拐点
及渐近线）的判定及描绘函数图形。
（ 5）掌握原函数和不定积分概念；熟练掌握换元积分法、分部
积分法 、 有理式积分法和三角有理式积分法 ， 并能利用它们来求函数
的积分；会计算简单的无理函数的积分。
（ 6）理解定积分概念，掌握函数可积的条件；熟悉一些可积分
函数类；掌握定积分与可变上限积分的性质；能较好地运用牛顿 -莱
布尼兹公式，换元积分法，分部积分法计算定积分。
（ 7）掌握定积分的几何应用；掌握定积分在物理上的应用；掌
握 “微元法 ”。
（ 8） 掌握广义积分的收敛 、 发散 、 绝对收敛与条件收敛等概念 ；
能用收敛性判别法判断某些反常积分的收敛性。
（ 9）掌握含参变量定积分的性质及计算。
三、 多变量微积分学
（ 1）掌握偏导数、全微分、方向导数、高阶偏导数、高阶全微
分等概念；了解多元函数可微、可导及连续的关系；掌握复合函数 、
隐函数的求导法则、由方程（组）所确定的函数的求导法则。
（ 2）掌握隐函数的存在性定理；会求曲线的切线方程和法平面
方程 ， 曲面的切平面方程和法线方程 ； 会求多元函数的极值 （ 条件极
值和无条件极值 ）。
（ 3）掌握二重、三重积分的概念和性质；会计算重积分；会求
图形的面积、体积。
（ 4）掌握两类曲线积分的概念及计算；掌握两类曲线积分的性
质 ； 掌握两类曲线积分的关系 ； 掌握 Green 公式并会用其计算有关积
分。
（ 5）掌握两类曲面积分的概念及计算；掌握两类曲面积分的性
质 ； 掌握两类曲面积分之间的关系 ； 掌握 Gauss 公式 、 Stokes 公式并
会用其计算有关积分。
四、级数论
（ 1） 理解数项级数的收敛 ， 发散 ， 绝对收敛与条件收敛等概念 ；
掌握数项级数的基本性质 ； 熟练应用正项级数敛散性判别法 （ 比较判
别法 、 比式判别法 、 根式判别法和积分判别法 ） 与任意项级数的敛散
性判别法判断级数的敛散性 ； 能熟练应用几何级数 、 调和级数与 p 级
数的敛散性。
（ 2）掌握函数项级数（函数序列）收敛及一致收敛性概念；掌
握一致收敛级数的性质 ，能够比较熟练地运用判断一致收敛性的判别
法（ Cauchy 收敛准则， Weierstrass 判别法， Abel 判别法和 Dirichle t
判别法）判断函数项级数（函数序列）的一致收敛性。
（ 3）掌握幂级数、收敛半径、收敛域、和函数等概念；会求幂
级数的收敛半径和收敛域 ； 掌握幂级数的性质并能求和函数 ； 会把函
数展开成幂级数。
（ 4） 掌握三角函数系的正交性与周期函数的 Fourier 级数的概念
和性质 ； 掌握 Fourier 级数收敛性判别法 ； 能将函数展开成 Fourier 级
数。
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