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南昌航空大学2022年研究生入学考试初试大纲
考试科目名称:数学分析
考试科目代码:609
考试形式:笔试
考试时间:180分钟
满分: 150分
参考书目:《数学分析》(上、下)(第五版),华东师范大学数学科学学院编,高等教育出版社,2019年。
一、试卷结构:
1、计算题,共6--7小题,共70分;
2、证明题、论述题,共5—6题,共80分。
二、考试范围:
(1)考查知识点
(一) 实数集与函数
1、实数:实数的概念,实数的性质,绝对值与不等式;
2、数集、确界原理:区间与邻域,有界集与无界集,上、下确界,确界原理;
3、函数概念:函数的定义,函数的表示法(解析法、列表法、和图象法),分段函数;
4、具有某些特征的函数:有界函数,单调函数,奇函数与偶函数,周期函数。
(二) 数列极限
1、数列极限概念;
2、收敛数列的性质:唯一性,有界性,保号性,单调性;
3、数列极限存在的条件:单调有界准则,迫敛性法则,柯西准则。
(三) 函数极限
1、函数极限的概念;
2、函数极限的性质:唯一性,局部有界性,局部保号性,不等式性,迫敛性;
3、函数极限存在的条件:归结原则,柯西准则;
4、两个重要极限;
5、无穷小量与无穷大量。
(四) 函数的连续性
1、连续性概念:函数在一点的连续性,区间连续的定义,单侧连续的定义,间断点及其分类;
2、连续函数的性质:局部性质及运算,闭区间上连续函数的性质(最大最小值性、有界性、介值性、一致连续性),反函数的连续性,一致连续性;
3、初等函数的连续性。
(五)导数与微分
1、导数概念:导数的定义、导函数、导数的几何意义;
2、求导法则:导数的四则运算、反函数的求导法则、复合函数的求导法则、基本求导法则与公式;
3、参变量函数的导数;
4、高阶导数;
5、微分:微分的概念、微分的运算法则、高阶微分、微分的应用。
(六)微分中值定理及其应用
1、拉格朗日定理和函数的单调性:罗尔定理、拉格朗日定理、单调函数;
2、柯西中值定理和不定式极限:柯西中值定理、不定式极限、洛必达法则;
3、泰勒公式;
4、函数的极值与最大(小)值;
5、函数的凸性与拐点;
6、函数图像的讨论;
7、方程的近似解。
(七)实数的完备性
1、关于实数完备性的基本定理:闭区间套定理、聚点定理、有限覆盖定理、实数完备性基本定理之间的等价性;
2、上极限和下极限。
(八)不定积分
1、不定积分概念与基本积分公式;
2、换元积分法与分部积分法;
3、有理函数和可化为有理函数的不定积分。
(九)定积分
1、定积分的概念:概念的引入、函数可积的必要条件;
2、牛顿-莱布尼兹公式;
3、可积条件:可积的必要条件和充要条件、可积函数类(连续函数,只有有限个间断点的有界函数,单调函数);
4、定积分的性质:定积分的基本性质、积分中值定理;
5、微积分学基本定理·定积分计算(续):变限积分与原函数的存在性、换元积分与分部积分、泰勒公式的积分型余项;
6、可积性理论补叙:上和与下和的性质、可积的充要条件。
(十)定积分的应用
1、平面图形的面积;
2、由平行截面面积求体积;
3、平面曲线的弧长与曲率;
4、旋转曲面的面积;
5、定积分在物理中的某些应用;
6、定积分的近似计算。
(十一)反常积分
1、反常积分的概念;
2、无穷积分的性质与敛散判别;
3、瑕积分的性质与敛散判别。
(十二)数项级数
1、级数的敛散性:无穷级数收敛,发散等概念,柯西准则,收敛级数的基本性质;
2、正项级数:正项级数敛散性的一般判别原则,比式判别法和根式判别法,积分判别法,拉贝判别法;
3、一般项级数:交错级数,绝对收敛级数及其性质,阿贝尔判别法与狄利克雷判别法。
(十三)函数列与函数项级数
1、一致收敛性;
2、一致收敛的函数列与函数项级数的性质。
(十四) 幂级数
1、幂级数:阿贝尔定理,收敛半径与收敛区间,幂级数的一致收敛性,幂级数和函数的分析性质;
2、函数的幂级数展开:泰勒级数、初等函数的幂级数展开式;
3、复变量的指数函数·欧拉公式。
(十五)傅里叶级数
1、傅里叶级数:三角级数·正交函数系、傅里叶级数、收敛定理;
2、以2L为周期的函数的展开式;
3、收敛定理的证明。
(十六)多元函数的极限与连续
1、平面点集与多元函数的概念;
2、二元函数的极限:二元函数的极限、累次极限;
3、二元函数的连续性:概念、有界闭域上连续函数的性质。
(十七)多元函数微分学
1、可微性:可微性与全微分,偏导数,偏导数的几何意义,偏导数与连续性;全微分概念;连续性与可微性,偏导数与可微性;可微性几何意义及应用;
2、复合函数微分法及求导公式;
3、方向导数与梯度;
4、泰勒定理与极值定理。
(十八)隐函数定理及其应用
1、隐函数:隐函数的概念,隐函数存在性条件的分析,隐函数定理,隐函数求导举例;
2、隐函数组:概念,隐函数组定理,反函数组与坐标变换;
3、几何应用:平面曲线的切线与法线,空间曲线的切线与法平面,曲面的切平面和法线;
4、条件极值。
(十九)含参量积分
1、含参量正常积分;
2、含参量反常积分:一致收敛性概念,一致收敛的判别法(柯西准则,与函数项级数一致收敛性的关系,一致收敛的M判别法),含参变量反常积分的性质;
3、欧拉积分。
(二十)曲线积分
1、第一型曲线积分:定义和计算;
2、第二型曲线积分:定义和计算、两类曲线积分的联系。
(二十一) 重积分
1、二重积分的概念:平面图形的面积、二重积分的定义及其存在性、二重积分的性质;
2、直角坐标系下二重积分的计算;
3、格林公式,曲线积分与路线的无关性;
4、二重积分的变量变换,极坐标计算二重积分;
5、三重积分:化三重积分为累次积分, 换元法(一般变换,柱面坐标变换,球坐标变换);
6、重积分的应用。
(二十二)曲面积分
1、第一型曲面积分的概念和计算;
2、第二型曲面积分,两类曲面积分的联系;
3、高斯公式与斯托克斯公式。
(二十三)向量函数微分学
1、n维欧氏空间与向量函数;
2、向量函数的微分;
3、反函数定理和隐函数定理。
(2)考查重点
(一) 实数集与函数
实数的性质,上、下确界,确界原理。
(二) 数列极限
极限概念,收敛数列的性质,数列极限存在的条件。
(三) 函数极限
函数极限的概念,函数极限的性质,函数极限存在的条件,两个重要极限。
(四) 函数连续
函数连续的概念,连续函数的性质。
(五)导数与微分
导数概念,求导法则,微分的定义,微分的运算法则。
(六)微分中值定理及其应用
中值定理,不定式极限与洛必达法则,函数的极值、最值,函数凹凸性与拐点。
(七)实数完备性定理
有界性定理、最大(小)值性定理、介值定理的、一致连续性定理。
(八)不定积分
不定积分概念与基本积分公式,换元积分法与分部积分法。
(九)定积分
定积分的概念,牛顿-莱布尼兹公式,定积分的性质。
(十)定积分的应用
平面图形的面积,微元法,已知截面面积函数的立体体积,平面曲线的弧长与曲率,旋转曲面的面积。
(十一)反常积分
反常积分的概念,无穷积分的性质与收敛准则,瑕积分的性质与收敛准则。
(十二)数项级数
级数的敛散性,正项级数判别法,交错级数与莱布尼兹判别法,绝对收敛级数与条件收敛级数及其性质。
(十三)函数列与函数项级数
一致收敛性及一致收敛判别法,一致收敛的函数列与函数项级数的性质。
(十四) 幂级数
收敛半径与收敛区间,幂级数的一致收敛性,幂级数和函数的分析性质,函数的幂级数展开与泰勒定理。
(十五)傅里叶级数
三角级数与正交函数系,傅里叶级数。
(十六)多元函数的极限与连续
二元函数的极限,二元函数的连续性概念。
(十七)多元函数微分学
偏导数的概念,偏导数与连续性,全微分概念,连续性与可微性,偏导数与可微性,多元复合函数微分法及求导公式。
(十八)隐函数定理及其应用
隐函数的概念,隐函数的定理,隐函数求导,条件极值。
(十九)含参量积分
含参量正常积分,含参量反常积分敛散性及其性质。
(二十)曲线积分
第一型曲线积分的定义和计算,第二型曲线积分的定义和计算,两类曲线积分的联系。
(二十一) 重积分
二重积分的定义及其存在性,二重积分的性质,直角坐标系下二重积分的计算,格林公式,极坐标计算二重积分,化三重积分为累次积分。
(二十二)曲面积分
第一型曲面积分的概念和计算,第二型曲面积分,两类曲面积分的联系,高斯公式与斯托克斯公式。
(二十三)向量函数微分学
n维欧氏空间与向量函数。
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